Utiliser une propriété avec ses conditions
Les règles d’arithmétique sont courtes, mais leurs conditions comptent. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Un entier impair s’écrit 2k + 1, avec k entier ; cette écriture peut prouver une propriété que quelques essais ne feraient que suggérer.
Pour les puissances, séparez produit et somme : 2³ × 2⁴ = 2⁷, tandis que 2³ + 2⁴ = 24. Pour les racines réelles, √(x²) = |x|, pas toujours x. Dans chaque correction, notez la condition omise plutôt qu’une formule trop générale. C’est souvent cette omission que la prochaine question déplacera.
Exercice 1 : former un carré parfait
Une décomposition en facteurs premiers permet de raisonner sur divisibilité et puissances sans essayer beaucoup de nombres. Dans la décomposition en facteurs premiers d’un carré parfait strictement positif, chaque exposant est pair.
What is the least positive integer k such that 2⁴ × 3³ × 5 × k is a perfect square?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
15.
La méthode, appliquée
- L’exposant de 2 est déjà pair ; ceux de 3 (trois) et de 5 (un) sont impairs. Il faut donc un facteur 3 et un facteur 5 : k = 3 × 5 = 15, et 2⁴ × 3⁴ × 5² = (2² × 3² × 5)² = 180².
- k = 3 ou k = 5 laisse un exposant impair. Multiplier 15 par un carré parfait supérieur à 1 produirait aussi un multiplicateur valable, mais plus grand. La demande least positive integer exclut zéro et impose la minimalité.
Exercice 2 : garder une forme générale
Dans la division d’un entier par un entier positif d, le reste r vérifie 0 ≤ r < d. Si n laisse le reste 2 dans la division par 5, écrire n = 5q + 2, avec q entier, conserve tous les entiers concernés, pas seulement un exemple.
When positive integer n is divided by 5, the remainder is 2. What is the remainder when 3n + 4 is divided by 5?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
0.
La méthode, appliquée
- Remplaçons n par 5q + 2. On obtient 3n + 4 = 15q + 10 = 5(3q + 2), un multiple de 5.
- Le nombre 10 n’est pas un reste dans une division par 5 : il faut encore le réduire. Tester n = 2 donne bien 10, mais l’écriture générale démontre que cela fonctionne pour toutes les valeurs permises.
Exercices 3 et 4 : contrôler les signes
Les parenthèses et le domaine sont des données. Réécrivez l’expression avant de calculer si plusieurs opérations s’y mêlent.
What is the value of (3⁴ × 3²) / 3³?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
27.
La méthode, appliquée
- Au numérateur, les puissances de même base se multiplient : 3⁶. La division par 3³ donne 3³ = 27.
- Ajouter les exposants de tous les termes donnerait 3⁹ et oublierait la division. Multiplier les exposants ne correspondrait pas à la règle d’un produit.
x is a negative real number. Which expression equals √(x²)?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
−x.
La méthode, appliquée
- La racine carrée principale est non négative. Comme x < 0, |x| = −x.
- Pour x = −4, √16 = 4, et −x = 4. Répondre x donnerait −4 ; cela confond les solutions de y² = 16 avec la valeur unique du symbole √16.
Le piège
Le piège à éviter
Prendre quelques exemples pour une preuve universelle. Le produit de deux nombres testés peut être pair sans que tous les produits possibles le soient. Pour une règle générale, écrivez les formes 2k, 2k + 1 ou une décomposition ; pour la réfuter, un seul contre-exemple valide suffit.
Passer d’une notion au format GRE
Conseil Upsilar : refaites chaque exercice avec une autre demande. Pour le carré parfait, comparez deux multiplicateurs ; pour les restes, proposez plusieurs choix possibles ; pour les racines, retirez la condition x < 0 et analysez les cas. Vous entraînez ainsi la même notion sans confondre sa maîtrise avec le souvenir d’une réponse.
Commencez sans chronomètre jusqu’à pouvoir expliquer chaque étape. Ensuite seulement, mélangez les notions dans une courte série. Relevez les hésitations : vocabulaire anglais, propriété oubliée, calcul ou condition non lue. Cette classification indique votre prochaine séance ; elle ne permet aucune prédiction de score GRE.
À retenir
- Les conditions font partie de chaque propriété.
- Factoriser peut remplacer de nombreux essais.
- La racine carrée principale reste non négative.