Que doit démontrer un contre-exemple ?
La FNEGE décrit les Conditions minimales comme une évaluation de la suffisance d’informations supplémentaires. Pour travailler cette idée, notre méthode consiste à chercher deux situations autorisées par l’énoncé et par la seule information étudiée. Si elles donnent des réponses différentes à la question, cette information ne suffit pas.
Chaque cas doit respecter toutes les contraintes conservées : entier ou réel, positif ou quelconque, dimensions d’une figure, total déjà connu. En revanche, pendant l’étude de (1) seule, vous devez oublier (2). Un exemple qui utilise les deux informations ne prouve rien sur la suffisance de (1) isolément.
L’asymétrie est utile : deux résultats distincts prouvent l’insuffisance, mais deux essais donnant le même résultat ne prouvent pas la suffisance. Celle-ci demande un argument qui couvre tous les cas admissibles. On peut souvent le donner par une équation, une propriété ou une relation directement liée à ce qui est demandé.
Comment utiliser deux signes pour construire un contre-exemple ?
Les propositions de cet atelier sont écrites en toutes lettres pour concentrer l’attention sur le raisonnement. Pour le format complet du sous-test, poursuivez avec la fiche Conditions minimales.
x est un nombre réel. Quelle est la valeur de x ? Information (1) : (x − 4)² = 25. Information (2) : x > 5.
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
Les deux réunies suffisent, aucune seule.
La méthode, appliquée
- Avec (1) seule, x − 4 vaut 5 ou −5 : x = 9 et x = −1 sont tous deux possibles. Les réponses diffèrent : (1) est insuffisante.
- Avec (2) seule, x = 6 et x = 7 conviennent. Elle est donc aussi insuffisante. On ne conserve pas (x − 4)² = 25 dans cette étape.
- Avec les deux informations, x appartient à {−1, 9} et doit dépasser 5. Il ne reste que 9 : la réponse est déterminée.
Faut-il connaître x pour connaître x² ?
Changer la quantité demandée peut changer le verdict de suffisance. Lisez la question avant de chercher à déterminer toutes les inconnues.
x est un nombre réel. Quelle est la valeur de x² ? Information (1) : la valeur absolue de x est 5. Information (2) : x < 0.
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
(1) seule suffit.
La méthode, appliquée
- Avec (1), x vaut 5 ou −5. Dans les deux cas, x² = 25. Cela couvre toutes les possibilités : (1) suffit pour la question posée.
- Avec (2), x = −1 donne x² = 1, tandis que x = −2 donne x² = 4. Les deux cas autorisés donnent des réponses différentes : (2) est insuffisante.
- L’incertitude sur le signe de x n’empêche pas de connaître son carré. Chercher x lui-même aurait conduit à résoudre une autre question.
Le piège
Un cas interdit ne réfute pas une conclusion
Si x est déclaré strictement positif, −3 n’est plus un contre-exemple admissible. Si x est entier, 1,5 est exclu. Relisez donc le domaine de l’inconnue avant de conclure. Un exemple spectaculaire qui viole une contrainte ne prouve aucune insuffisance.
Ne confondez pas non plus plusieurs chemins de calcul et plusieurs réponses. Ce qui doit varier, c’est le résultat demandé. Deux configurations différentes peuvent produire le même périmètre, la même somme ou la même réponse oui/non.
Comment choisir ses essais sans chercher au hasard ?
Commencez par les possibilités que la donnée laisse ouvertes : signe, ordre de deux nombres, valeur nulle si elle est autorisée, égalité ou inégalité. Prenez des nombres simples. Le but est de faire varier la réponse en gardant la condition étudiée vraie, pas de produire des calculs compliqués.
Dans votre correction, gardez une ligne par information : cas A, cas B, résultats obtenus. Si vous concluez à la suffisance, remplacez cette liste d’essais par une preuve générale. Cette distinction rend votre verdict contrôlable, même lorsque vous n’avez pas besoin de calculer la valeur finale.
À retenir
- Deux cas admissibles avec deux réponses prouvent l’insuffisance.
- Testez chaque information seule sans importer l’autre.
- La suffisance porte sur la quantité demandée, pas sur toutes les inconnues.