Que change le fait qu’un nombre soit entier ?
L’arithmétique appartient au champ décrit par la FNEGE pour le Calcul. Les exercices qui suivent sont des créations pédagogiques Upsilar. Ils privilégient la mise en forme des contraintes : il n’est pas nécessaire de mobiliser un formalisme avancé pour savoir si des objets peuvent se répartir en lots complets.
Pour des entiers n et d avec d strictement positif, la division euclidienne s’écrit n = d × q + r, avec 0 ≤ r < d. Le reste doit être inférieur au diviseur. Si vous écrivez un reste de 9 en divisant par 7, vous pouvez encore former un groupe de 7 : le quotient et le reste ne sont donc pas terminés.
Soulignez ensuite le domaine autorisé. « Entier positif », « chiffre » et « nombre à deux chiffres » ne sont pas interchangeables. Une équation peut accepter une valeur décimale que le contexte interdit. À l’inverse, n’ajoutez pas une condition d’intégralité quand l’énoncé ne la donne pas.
| Indice | Traduction utile |
|---|---|
| n est pair | n = 2k pour un entier k |
| n est multiple de 5 | n = 5k |
| Reste 3 en divisant par 7 | n = 7k + 3 |
| Chiffre des unités inconnu | Une valeur parmi 0, 1, …, 9 |
Comment combiner des critères simples ?
Pour 2, regardez le chiffre des unités ; pour 3 et 9, la somme des chiffres ; pour 5, une terminaison par 0 ou 5. Être divisible par 6 revient à être divisible par 2 et par 3. Ces contrôles portent sur une écriture décimale entière, pas sur un nombre arrondi.
Quel chiffre peut remplacer x dans le nombre 4x2 pour que ce nombre soit divisible par 9 ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
x = 3.
La méthode, appliquée
- La somme des chiffres vaut 4 + x + 2 = 6 + x. Comme x va de 0 à 9, cette somme est comprise entre 6 et 15.
- Le seul multiple de 9 dans cet intervalle est 9, donc x = 3. Le nombre 432 vaut bien 9 × 48.
- x = 6 donnerait une somme de 12 : la divisibilité par 3 fonctionnerait, mais pas celle par 9. x = 9 ne fonctionne pas simplement parce que le chiffre 9 apparaît.
Que reste-t-il après une transformation ?
Une écriture comme n = 7k + 3 permet de transformer tout le nombre sans connaître k. Isolez à la fin un multiple du diviseur, puis réduisez le reste s’il est trop grand.
Un entier n laisse un reste de 3 lorsqu’on le divise par 7. Quel est le reste de la division de 2n + 5 par 7 ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
4.
La méthode, appliquée
- Écrivez n = 7k + 3. Alors 2n + 5 = 14k + 11 = 7(2k + 1) + 4.
- Le reste est 4, bien compris entre 0 et 6. Avec n = 10, 2n + 5 vaut 25 et 25 = 3 × 7 + 4.
- 11 est une quantité intermédiaire, pas un reste admissible modulo 7. Garder 3 ignorerait les deux opérations appliquées à n.
Le piège
Multiplier deux diviseurs qui partagent déjà un facteur
« Divisible par 4 et par 6 » n’implique pas « divisible par 24 ». Le nombre 12 fournit un contre-exemple immédiat. Ces deux contraintes partagent un facteur 2 ; leur combinaison impose un multiple de 12. Un contre-exemple suffit à rejeter une règle universelle, même si plusieurs autres nombres la respectent.
De même, deux nombres impairs ont une somme paire, mais leur produit reste impair. Une règle sur une somme ne se transfère pas au produit. Écrivez l’opération concernée avant de raisonner sur la parité.
Comment trouver une valeur sans tester tous les entiers ?
Énumérez d’abord la famille la plus restrictive, puis appliquez la seconde contrainte.
Un nombre entier est strictement compris entre 30 et 50. Il est divisible par 4 et par 6. Quelles sont toutes ses valeurs possibles ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
36 et 48.
La méthode, appliquée
- Les multiples de 12 strictement entre 30 et 50 sont 36 et 48. Chacun est divisible par 4 et par 6.
- 32 est divisible par 4, mais pas par 6. Les réponses qui ne retiennent que 36 ou que 48 oublient une possibilité valide.
- Pour imposer une seule valeur de l’inconnue, il faudrait par exemple ajouter « inférieur à 40 ». La seule valeur restante serait alors 36. Choisir le premier nombre qui marche ne prouve pas son unicité.
À retenir
- Nommez le domaine et les bornes des inconnues.
- Un reste doit toujours être inférieur au diviseur positif.
- Testez l’unicité et cherchez un contre-exemple aux règles supposées.