Quel nombre faut-il appeler x ?
La présentation FNEGE du Calcul met l’accent sur la modélisation des énoncés. Dans cet atelier Upsilar, on compare des démarches possibles ; aucune n’est un raccourci universel. Les deux exercices sont originaux et leurs corrections donnent plusieurs façons de vérifier la réponse.
Choisissez si possible la quantité demandée. Écrivez sa définition avec son unité : « x est le nombre de billets adultes », plutôt qu’un x isolé. Traduisez ensuite les relations une à une. Une différence donne souvent une addition ou une soustraction ; un total rassemble les contributions ; « trois fois » introduit une multiplication.
Gardez les contraintes avec l’équation. Un nombre de billets doit être entier et positif ou nul. Une durée ne peut pas être négative. Une solution algébrique qui viole ces conditions ne répond pas au problème. Les propositions d’un QCM peuvent aider à chercher, mais elles ne remplacent pas la traduction.
Comment éviter deux inconnues quand une suffit ?
Le total permet d’exprimer une quantité à partir de l’autre. Cette substitution réduit le problème à une seule équation, tout en gardant visibles les deux catégories.
Une association vend 18 billets. Le billet adulte coûte 12 €, le billet enfant 7 €. La recette est de 176 €. Combien de billets adultes a-t-elle vendus ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
10 billets adultes.
La méthode, appliquée
- Si x est le nombre de billets adultes, le nombre de billets enfants est 18 − x. La recette s’écrit 12x + 7(18 − x) = 176.
- On obtient 12x + 126 − 7x = 176, donc 5x = 50 et x = 10. Il reste 8 billets enfants ; 120 + 56 = 176.
- Autre méthode : 18 billets enfants auraient rapporté 126 €. Chaque billet adulte ajoute 5 €. Les 50 € supplémentaires correspondent donc à 50 ÷ 5 = 10 adultes.
Quand les propositions peuvent-elles simplifier la recherche ?
L’essai est intéressant quand chaque proposition se vérifie vite dans toutes les relations. Ne retenez pas un nombre parce qu’il satisfait seulement une partie de l’énoncé.
Lina a 6 ans de plus que Noé. Dans 4 ans, Lina aura le double de l’âge que Noé avait il y a 2 ans. Quel âge a Noé aujourd’hui ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
14 ans.
La méthode, appliquée
- Si x est l’âge actuel de Noé, Lina a x + 6 ans. Dans 4 ans, elle aura x + 10 ans ; Noé avait x − 2 ans deux ans auparavant.
- L’équation est x + 10 = 2(x − 2). Donc x + 10 = 2x − 4, puis x = 14.
- En essayant 14 : Lina a 20 ans, elle en aura 24 ; Noé avait 12 ans et 2 × 12 = 24. Le choix satisfait les deux relations et toutes les dates.
Le piège
Changer de date au milieu d’une même quantité
Dans le second exercice, doubler l’âge actuel de Noé donne 2x ; doubler son âge passé donne 2(x − 2). La différence ne vient pas d’un calcul difficile, mais de la traduction. Associez chaque âge à son propriétaire et à sa date avant de développer.
Autre erreur fréquente : 2(x − 2) n’est pas égal à 2x − 2. Le coefficient multiplie chaque terme dans la parenthèse. Ne développez que lorsque cette opération simplifie vraiment la résolution ; les parenthèses peuvent aussi protéger le sens de la phrase.
Comment décider sans essayer toutes les approches ?
Si la relation donne immédiatement une équation simple, résolvez-la. Si un total fixe permet une comparaison à une situation de référence, comme tous les billets au tarif enfant, cette approche peut être plus courte. Si les choix sont peu coûteux à vérifier, essayez-en un et contrôlez toutes les conditions.
Après correction, expliquez pourquoi votre méthode convenait aux nombres présents. Refaire chaque problème par trois chemins pendant une séance chronométrée n’est pas nécessaire. La comparaison sert surtout à l’apprentissage ; au moment de répondre, choisissez un chemin clair puis une vérification indépendante.
À retenir
- Définissez l’inconnue avec son unité et ses contraintes.
- Traduisez les dates et les parenthèses avant de calculer.
- Une proposition est valide seulement si elle respecte tout l’énoncé.