Quel travail d’algèbre préparer ?
La page Quantitative Reasoning du GMAC cite notamment équations linéaires et quadratiques, systèmes, puissances, racines, fonctions, inégalités et valeur absolue. Cet atelier cible les conditions de validité qui traversent ces sujets ; il ne constitue pas à lui seul un programme complet.
Commencez par distinguer la question d’une simple consigne scolaire. Trouver une valeur, déterminer un intervalle ou décider si une information suffit n’exige pas forcément le même travail. Une substitution dans les choix peut être plus courte qu’une résolution générale, mais elle doit respecter toutes les restrictions.
Au brouillon, réservez une ligne aux conditions. Elle évite qu’un résultat obtenu en fin de calcul vous fasse oublier qu’une division initiale était interdite. Le contrôle final consiste à revenir à l’énoncé original, pas seulement à la dernière équation transformée.
Que reste-t-il après une simplification ?
Une simplification peut faire disparaître visuellement un dénominateur. Sa restriction reste pourtant en vigueur.
For x ≠ 2, (x² − 4)/(x − 2) = 7. What is x?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
5.
La méthode, appliquée
- On factorise x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Pour x ≠ 2, la fraction vaut x + 2. L’équation devient x + 2 = 7, donc x = 5.
- Dans l’expression initiale : (25 − 4)/(5 − 2) = 21/3 = 7. La condition x ≠ 2 est respectée.
- 2 est interdit ; 3 et 4 donnent 5 et 6 ; 7 confond le résultat de la fraction avec la valeur de l’inconnue.
Quand faut-il inverser le sens d’une inégalité ?
Ajouter la même quantité conserve le sens. Multiplier ou diviser les deux côtés par une quantité négative l’inverse. Si le signe est inconnu, séparez les cas avant cette opération.
Which statement is equivalent to 5 − 2x < 11?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
x > −3.
La méthode, appliquée
- Soustraire 5 donne −2x < 6. Diviser par −2 inverse le sens : x > −3.
- Contrôle avec x = 0 : 5 < 11 est vrai, et 0 > −3 aussi. À la frontière x = −3, on obtient 11 < 11, faux : l’égalité est exclue.
- x < −3 inverse le bon ensemble ; les choix autour de 3 viennent d’une perte du signe ; l’égalité seule ne satisfait pas la consigne stricte.
Le piège
Tester quelques valeurs ne prouve pas une règle universelle
Un essai permet de réfuter une égalité supposée vraie pour tous les nombres lorsqu’il fournit un contre-exemple. Il ne prouve pas cette égalité parce que trois essais fonctionnent. Distinguez contrôle numérique et démonstration.
Par exemple, remplacer des inconnues par des nombres positifs dans une inégalité peut cacher le cas négatif. Si l’énoncé n’impose pas la positivité, votre méthode doit encore couvrir zéro, les négatifs ou les fractions lorsque ces valeurs sont autorisées.
Comment empêcher une racine oubliée ?
Une équation où l’inconnue figure au carré peut admettre deux solutions. Une restriction de signe peut en éliminer une, mais elle doit venir de l’énoncé.
If (x − 1)² = 16 and x < 0, what is x?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
−3.
La méthode, appliquée
- x − 1 vaut 4 ou −4. Les deux solutions de l’équation seule sont 5 et −3.
- La condition x < 0 ne garde que −3. Vérification : (−3 − 1)² = 16.
- 5 vérifie l’équation mais pas la condition ; −4 oublie le décalage de 1 ; −5 et 3 ne vérifient pas l’équation.
À retenir
- Conservez les restrictions même après simplification.
- Contrôlez les signes lors des divisions.
- Un essai réfute ; une justification générale établit.