Pourquoi écrire un entier plutôt que choisir un exemple ?
GMAC cite les propriétés des nombres, la divisibilité, les nombres pairs et impairs et les restes dans le travail quantitatif. Les exemples de cet atelier sont créés pour expliquer ces notions ; ils ne proviennent pas d’un sujet officiel et ne prédisent aucune fréquence.
Dire que n est pair signifie qu’il existe un entier k tel que n = 2k. Un entier impair s’écrit 2k + 1. Ces expressions permettent de raisonner sur tous les cas autorisés. Prendre n = 4 peut aider à explorer une idée, mais ne remplace pas cette généralité.
Pour une division euclidienne par un entier positif d, écrivez n = dq + r avec 0 ≤ r < d. Le reste doit respecter cette borne. Une expression comme 7q + 9 doit encore être réduite pour donner un reste lors de la division par 7.
Que peut-on conclure d’un produit impair ?
Un facteur pair rend tout le produit pair. Pour qu’un produit de deux entiers soit impair, les deux facteurs doivent donc être impairs.
If a and b are integers and ab is odd, which of the following must be even?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
a + b.
La méthode, appliquée
- a et b sont impairs : a = 2u + 1 et b = 2v + 1. Alors a + b = 2(u + v + 1), donc pair.
- a, b et ab sont impairs. Ajouter 1 à leur somme paire donne un impair. Le troisième choix est le seul nécessairement pair.
- L’essai a = 3, b = 5 contrôle le résultat mais ne constitue pas la preuve. La forme 2(u + v + 1) établit tous les cas.
Comment transmettre un reste dans une expression ?
Remplacez n par son écriture quotient-reste. Les multiples du diviseur disparaissent de la recherche du reste ; il ne reste qu’un petit calcul.
When the positive integer n is divided by 7, the remainder is 4. What is the remainder when 3n + 2 is divided by 7?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
0.
La méthode, appliquée
- n = 7q + 4. Donc 3n + 2 = 21q + 14 = 7(3q + 2), divisible par 7.
- Le calcul sur le reste donne 3 × 4 + 2 = 14 ; 14 n’est pas un reste admissible pour une division par 7. Sa réduction donne 0.
- Les autres options ne vérifient pas l’expression générale. Tester n = 4 puis n = 11 confirme, sans remplacer la factorisation.
Le piège
Une conclusion vraie dans plusieurs essais peut encore être fausse
Par exemple, « tout entier impair est premier » fonctionne pour 3, 5 et 7, puis échoue pour 9. L’accumulation d’essais favorables ne prouve rien d’universel. Un seul contre-exemple autorisé suffit en revanche à réfuter la proposition.
Sur une question « must be true », cherchez donc une raison qui couvre tous les cas. Sur « could be true », un exemple compatible peut suffire. La différence porte sur la tâche logique, pas sur la difficulté du calcul.
Comment utiliser plusieurs conditions de divisibilité ?
Être divisible par deux nombres ne signifie pas toujours être divisible par leur produit. Il faut prendre en compte les facteurs qu’ils partagent.
What is the smallest positive integer divisible by both 12 and 18?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
36.
La méthode, appliquée
- 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Le plus petit multiple commun contient 2² et 3² : 4 × 9 = 36.
- 36/12 = 3 et 36/18 = 2. 24 n’est pas divisible par 18 ; 30 par aucun des deux ; 54 n’est pas divisible par 12.
- 216, le produit 12 × 18, est bien un multiple commun mais pas le plus petit. Les facteurs partagés n’ont pas à être comptés deux fois.
À retenir
- Écrivez 2k, 2k + 1 ou dq + r selon la propriété.
- Respectez les bornes d’un reste.
- Un contre-exemple réfute une règle ; des essais favorables ne la prouvent pas.