Séparer ce que l’on sait de ce que l’on imagine
ETS prévient que les figures géométriques ne sont pas nécessairement à l’échelle ; ses repères, droites graduées et graphiques de données suivent une autre convention. La bonne lecture commence donc par la nature du support. Sur une figure géométrique, un triangle qui semble isocèle ne l’est pas sans information correspondante.
Faites deux colonnes au brouillon : donné et déduit. « Angle droit en B » appartient à donné si l’énoncé le précise. « AC² = AB² + BC² » devient alors une déduction. L’impression que AC mesure environ deux fois AB n’a sa place dans aucune colonne. Cette discipline facilite aussi les comparaisons où plusieurs figures satisfont les mêmes informations.
Figure 1 : une hauteur, une base, une aire
La description textuelle contient toutes les données utiles. ABC est rectangle en B ; AB mesure 9 et BC mesure 12. Le côté AC n’est pas donné. Les longueurs sont dans la même unité. Le dessin n’est pas à mesurer.
Triangle ABC is right-angled at B. AB = 9 and BC = 12. What are the area of the triangle and the length of AC?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
Aire 54 unités carrées ; AC = 15 unités.
La méthode, appliquée
- Les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : aire = 9 × 12 / 2 = 54.
- Pythagore donne AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, donc AC = 15. AC est une longueur positive.
- 108 oublie la division par 2 dans l’aire ; 21 additionne les deux côtés au lieu d’appliquer Pythagore. La longueur 15 est supérieure à 12 et inférieure à 21, cohérente avec le triangle.
Figure 2 : raisonner avec la base et la hauteur
ABCD est un rectangle de largeur 10 et de hauteur 6. M est le milieu de AB. Le triangle DMC est coloré ; sa base DC mesure donc 10 et la distance de M à DC vaut 6. La couleur ne porte aucune donnée supplémentaire.
Rectangle ABCD has width 10 and height 6. M is the midpoint of AB. What fraction of the rectangle’s area is occupied by triangle DMC?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
1/2.
La méthode, appliquée
- Le rectangle a une aire de 10 × 6 = 60. Le triangle a la même base 10 et la même hauteur 6 : son aire vaut 30.
- La fraction est 30/60 = 1/2. Le fait que M soit au milieu aide à lire la symétrie, mais n’est pas nécessaire au calcul d’aire : tout point de AB aurait la même hauteur par rapport à DC.
- 1/3 vient d’un comptage visuel des trois triangles sans comparer leurs aires. Les deux triangles restants valent chacun 15, pas 30.
Exercice 3 : longueur et aire ne varient pas pareil
Lorsque deux figures sont semblables, un facteur k sur les longueurs produit k² sur les aires. Cette conclusion vient de la multiplication des deux dimensions dans une aire, pas d’une règle fondée sur l’apparence du dessin.
Two similar triangles have corresponding side lengths in the ratio 2:5. The smaller triangle has area 24. What is the larger triangle’s area?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
150.
La méthode, appliquée
- Le facteur de longueur du petit au grand est 5/2. Le facteur d’aire est (5/2)² = 25/4. L’aire vaut 24 × 25/4 = 150.
- 60 multiplierait l’aire par le seul facteur de longueur. Inverser le rapport donnerait une aire plus petite pour le grand triangle.
Le piège
Le piège à éviter
Mesurer un angle ou une longueur sur une figure schématique. Même si le dessin paraît précis, la conclusion doit résulter de l’énoncé ou d’une propriété établie. En cas de données insuffisantes, imaginez deux figures différentes qui les respectent.
Redessiner après avoir formulé les données
Cachez une figure et reconstruisez-la à partir de sa description. Si vous ajoutez une égalité de côtés ou un angle droit absent, vous repérez une hypothèse personnelle. Reprenez ensuite le dessin et annotez chaque déduction avec sa raison : perpendicularité, somme des angles, similitude ou formule d’aire.
Cet atelier couvre quelques bases, pas toute la géométrie du GRE. Révisez aussi le vocabulaire anglais associé aux figures que vous travaillez. Savoir reconnaître midpoint, perpendicular et corresponding évite de perdre une donnée avant même le raisonnement.
À retenir
- Les données priment sur l’apparence.
- Une aire exige une base et sa hauteur correspondante.
- Un facteur de longueur k donne un facteur d’aire k².