Écrire ce que l’on a le droit d’essayer
Avant de comparer, relevez le domaine : réel, entier, positif, non nul, intervalle. Un contre-exemple ne vaut que s’il respecte toutes les conditions. Pour x > 0, zéro est interdit ; pour x entier, 1/2 ne convient pas. Le format ne demande pas toujours une valeur unique : vous pouvez connaître la relation entre A et B sans connaître leur valeur.
Comparez par exemple x + 9 et x + 4. Leur différence vaut 5, quel que soit x réel : A reste supérieure. À l’inverse, x² et x exigent de regarder le domaine. Les entiers positifs et les réels positifs ne produisent pas les mêmes possibilités. Ce raisonnement évite de traiter chaque question comme une équation à résoudre.
Preuve courte : différence, borne et égalité
Les lettres A, B, C et D ont ici le sens donné dans la réponse courte. Tous les exercices sont des créations Upsilar. Cherchez d’abord une différence, une factorisation ou une borne.
x is a real number. Quantity A: 3(x + 4). Quantity B: 3x + 7. Compare the quantities.
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
A.
La méthode, appliquée
- A − B = 3x + 12 − 3x − 7 = 5. La différence positive prouve la réponse pour tout x.
- B inverse la comparaison. C oublie la différence entre 12 et 7. D serait faux : la présence d’une variable n’empêche pas une relation constante.
t is a real number. Quantity A: 0. Quantity B: (t − 2)² + 1. Compare the quantities.
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
B.
La méthode, appliquée
- Un carré est au moins égal à zéro. B est donc au moins égale à 1, strictement supérieure à A.
- Tester t = 2 trouve le minimum de B, pas une égalité avec zéro. A et C sont impossibles ; D n’est pas justifiée, puisque la borne s’applique à tous les réels.
x is a real number and x ≠ 2. Quantity A: (x² − 4)/(x − 2). Quantity B: x + 2. Compare the quantities.
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
C.
La méthode, appliquée
- Factoriser x² − 4 donne (x − 2)(x + 2). Comme x ≠ 2, la simplification par x − 2 est permise et A = x + 2 = B.
- A et B ne peuvent être strictement plus grandes ; D oublierait que la restriction exclut précisément le cas où le quotient serait indéfini.
Deux contre-exemples : faire varier la relation
Pour prouver D, il suffit de deux situations autorisées donnant deux relations différentes. Il n’est pas nécessaire de produire les trois relations possibles. En revanche, dix essais donnant la même relation ne constituent pas toujours une preuve générale.
x > 0. Quantity A: x². Quantity B: x. Compare the quantities.
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
D.
La méthode, appliquée
- Pour x = 2, A = 4 et B = 2 : A est plus grande. Pour x = 1/2, A = 1/4 et B = 1/2 : B est plus grande.
- Les deux cas respectent x > 0. C est parfois vraie pour x = 1 mais pas toujours ; A et B ne sont pas constantes. L’indétermination est prouvée.
n is an integer and 1 ≤ n ≤ 4. Quantity A: n(5 − n). Quantity B: 6. Compare the quantities.
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
D.
La méthode, appliquée
- n = 1 donne 4, donc B plus grande. n = 2 donne 6, donc égalité. Cela suffit pour D.
- n = 3 redonne 6 et n = 4 redonne 4. A n’est jamais plus grande, mais cela ne rend pas B correcte : B affirme une supériorité systématique, pas une relation « supérieure ou égale ».
Le piège
Le piège à éviter
Choisir D parce que vous n’arrivez pas à résoudre. D est une conclusion mathématique, pas une déclaration d’incertitude personnelle. Elle demande des cas admissibles incompatibles avec une relation unique ; un calcul incomplet n’en fournit pas.
Choisir entre preuve et essais
Commencez par simplifier ce qui se simplifie sans hypothèse supplémentaire. Soustraire la même expression aux deux quantités conserve la comparaison ; diviser par une quantité de signe inconnu exige en revanche de distinguer les cas. Ne transformez pas une inégalité comme une égalité.
Si des variables restent libres, testez des valeurs qualitativement différentes, permises par le domaine : fraction entre zéro et un, borne incluse, nombre négatif, égalité particulière. Dès que deux relations apparaissent, arrêtez les calculs. Si elles n’apparaissent pas, cherchez ce qui impose la relation observée.
À la correction, écrivez une phrase de preuve ou vos deux contre-exemples. Une bonne réponse devinée sans justification mérite le même travail qu’une erreur. La question suivante changera les nombres ; seule la logique de votre décision sera réutilisable.
À retenir
- Les contraintes priment sur les nombres que vous aimeriez tester.
- Une relation stable demande une preuve.
- Deux relations différentes dans deux cas permis suffisent pour D.