Choisir une inconnue qui répond à la question
Une équation traduit une relation. Dans un problème rédigé, définissez donc l’inconnue avec son unité avant de l’utiliser. Si x désigne un nombre de billets, il est entier et non négatif ; si x désigne une longueur, une solution négative devra être rejetée. Une même manipulation algébrique peut produire des résultats admissibles ou inadmissibles selon le contexte.
Gardez aussi les restrictions apparues avant la simplification. Dans (x² − 9)/(x − 3), factoriser puis simplifier donne x + 3 pour x ≠ 3 ; cela ne crée pas une valeur initiale en x = 3. La restriction survit à l’écriture plus courte. Une comparaison peut précisément porter sur cette différence.
Exercice 1 : contrôle par substitution
La substitution n’est pas une nouvelle méthode complète : c’est une vérification rapide dans l’équation d’origine, avant de vous fier à une réponse.
If 4(x − 3) + 7 = 3x + 5, what is the value of x?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
10.
La méthode, appliquée
- Développez : 4x − 12 + 7 = 3x + 5, soit 4x − 5 = 3x + 5. Soustraire 3x puis ajouter 5 donne x = 10.
- Dans l’original, le membre gauche vaut 4 × 7 + 7 = 35 ; le droit vaut 30 + 5 = 35. Oublier de multiplier −3 par 4 aurait donné une autre équation.
Exercice 2 : le changement de sens
Ajouter ou soustraire la même valeur conserve le sens de l’inégalité. Multiplier ou diviser par un nombre négatif l’inverse. Si le signe du facteur est inconnu, distinguez les cas avant de transformer.
Which values of x satisfy 7 − 3x < 16?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
x > −3.
La méthode, appliquée
- Soustraire 7 donne −3x < 9. Diviser par −3 inverse le signe : x > −3.
- x = 0 vérifie l’inégalité initiale, 7 < 16. x = −4 donne 19 < 16, faux. La borne −3 donne égalité, exclue par le signe strict.
Exercice 3 : conserver les deux possibilités
Une équation du second degré peut avoir plusieurs solutions. Il faut toutes les confronter à la question, au lieu de garder automatiquement la racine positive.
Select all values of x that satisfy x² − 5x + 6 = 0.
Sélectionnez toutes les bonnes réponses.
La correction, pas à pas
2 et 3.
La méthode, appliquée
- Factoriser donne (x − 2)(x − 3) = 0. Un produit nul impose au moins un facteur nul : x = 2 ou x = 3.
- 0 et 6 viennent des coefficients sans résoudre l’équation. −2 donne 20 et −3 donne 30, donc ces valeurs échouent. Aucun domaine supplémentaire ne retire l’une des deux racines.
Exercice 4 : lire l’entrée avant le calcul
La notation f(t) signifie appliquer la règle de f à l’entrée t. Ce n’est pas une multiplication f × t. Si l’entrée est une expression, remplacez chaque occurrence par cette expression entre parenthèses.
For all real x, f(x) = 2x² − 3. What is f(−2) − f(1)?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
6.
La méthode, appliquée
- f(−2) = 2 × (−2)² − 3 = 5. f(1) = 2 − 3 = −1. La différence vaut 5 − (−1) = 6.
- Le carré porte sur −2 entier, donc vaut 4. Une dernière soustraction de valeur négative devient une addition. La réponse 4 oublie ce dernier signe.
Le piège
Le piège à éviter
Diviser par x sans vérifier que x est non nul et sans connaître son signe dans une inégalité. Une simplification peut retirer une solution, ajouter une valeur interdite ou inverser la comparaison. Les conditions doivent rester visibles jusqu’à la réponse.
Passer de la technique à la décision
Après ces exercices, choisissez une erreur et créez une variante minimale. Remplacez le coefficient négatif d’une inégalité par un positif, rendez une borne stricte puis large, imposez x entier à un intervalle. Dites ce qui change dans la réponse et ce qui reste identique dans les calculs.
Pour une comparaison quantitative, cherchez parfois une différence ou une factorisation plutôt que les valeurs exactes. Pour une entrée numérique, contrôlez la valeur dans l’original. Pour plusieurs réponses, vérifiez chaque option admissible. Cette adaptation au format compte autant que la technique algébrique.
À retenir
- Gardez les restrictions même après simplification.
- Un facteur négatif inverse une inégalité.
- Vérifiez dans l’expression ou l’équation d’origine.