Combien de réponses faut-il sélectionner ?
ETS distingue les QCM où une seule réponse est demandée de ceux qui permettent plusieurs réponses. Pour ces derniers, la consigne peut fixer le nombre de choix ou demander tous ceux qui conviennent. Une seule réponse peut parfois être correcte. Les consignes officielles exigent la sélection complète, sans choix supplémentaire, pour obtenir le crédit.
Avant le calcul, repérez aussi la nature de la question. « Quelles valeurs sont possibles ? » demande des valeurs qui satisfont les conditions. « Quelles affirmations sont nécessairement vraies ? » demande des affirmations valables dans tous les cas autorisés. Un exemple favorable répond parfois à la première question ; il ne démontre pas la seconde.
Exercice 1 : une inégalité stricte
Décrivez d’abord l’ensemble des solutions, puis comparez les propositions à cet ensemble. Une borne exclue reste exclue même si elle paraît très proche d’une solution.
The integer n satisfies |2n − 3| < 7. Which of the following could be n? Select all that apply.
Sélectionnez toutes les bonnes réponses.
La correction, pas à pas
B, C et D : −1, 0 et 4.
La méthode, appliquée
- L’inégalité équivaut à −7 < 2n − 3 < 7, puis −4 < 2n < 10 et enfin −2 < n < 5. Parmi les valeurs proposées, −1, 0 et 4 appartiennent à cet intervalle.
- Les bornes −2 et 5 donnent une valeur absolue égale à 7 : elles sont exclues par le signe strict. Pour 6, la valeur absolue vaut 9. Les autres entiers de l’intervalle, absents de la liste, n’ont pas à être saisis.
Exercice 2 : traduire une double condition
Le mot « strictly », répété dans l’énoncé, exclut les deux extrémités : aucune n’est incluse. Le calcul peut se faire une fois pour toutes, sans recalculer une moyenne complète pour chaque choix.
The arithmetic mean of x, 4, and 9 is strictly greater than 5 and strictly less than 7. Which of the following values could be x? Select all that apply.
Sélectionnez toutes les bonnes réponses.
La correction, pas à pas
B, C et D : 3, 5 et 7.
La méthode, appliquée
- On écrit 5 < (x + 13) / 3 < 7. Multiplier par 3 conserve le sens des inégalités : 15 < x + 13 < 21. Donc 2 < x < 8.
- Les valeurs 3, 5 et 7 sont possibles. Avec 2, la moyenne serait exactement 5 ; avec 8, exactement 7. Avec 9, elle dépasserait 7. La consigne ne demande pas que x soit la moyenne : elle désigne une des trois données.
Exercice 3 : éprouver chaque affirmation
Quand le nombre recherché parcourt un intervalle, une affirmation vraie pour une valeur particulière n’est pas nécessairement vraie pour toutes les autres. Cherchez un contre-exemple pour les propositions qui restreignent davantage l’intervalle obtenu.
The real number x satisfies x² < x. Which statements must be true? Select all that apply.
Sélectionnez toutes les bonnes réponses.
La correction, pas à pas
A, B et D.
La méthode, appliquée
- x² < x équivaut à x(x − 1) < 0. Les deux facteurs sont de signes contraires lorsque 0 < x < 1. A et B sont donc nécessaires.
- Multiplier x² < x par x, qui est strictement positif, donne x³ < x² : D est vraie. Pour C, x = 3/4 satisfait l’énoncé mais pas la proposition : ce contre-exemple suffit à l’écarter.
- Sur 0 < x < 1, l’inverse 1/x est supérieur à 1. E est donc fausse. Diviser trop tôt sans connaître le signe de x peut faire perdre ce raisonnement.
Exercice 4 : accepter une sélection unique
Les cases à cocher décrivent une possibilité du format. Elles ne sont pas une indication sur le nombre de bonnes réponses de l’exercice particulier.
The positive number x satisfies (x − 2)(x + 5) = 0. Which of the following could be x? Select all that apply.
Sélectionnez toutes les bonnes réponses.
La correction, pas à pas
D seulement : 2.
La méthode, appliquée
- Le produit est nul lorsque x = 2 ou x = −5. La condition positive élimine −5. Les autres valeurs proposées n’annulent aucun facteur.
- Sélectionner les deux racines algébriques reviendrait à ignorer une partie de l’énoncé. La vérification finale porte sur toutes les conditions, pas uniquement sur l’équation.
Le piège
S’arrêter dès qu’un résultat fonctionne
Valider une valeur puis cliquer immédiatement sur la correction reproduit le réflexe d’un QCM à réponse unique. Dans ce format, la tâche reste ouverte tant qu’une proposition n’a pas été examinée. Faites un dernier passage sur la liste, dans l’ordre, pour vérifier qu’aucun choix n’a simplement été oublié.
À l’inverse, cocher une valeur supplémentaire « au cas où » ne protège pas une réponse correcte. Si un choix résiste, revenez au domaine ou construisez un contre-exemple. L’incertitude ne constitue pas une raison mathématique de le retenir.
Comment corriger une erreur d’exhaustivité ?
Séparez une erreur de calcul d’une erreur de sélection. Si votre intervalle était juste mais votre liste incomplète, retravailler les opérations ne règle pas le problème : il faut reprendre le balayage des propositions. Si l’intervalle était faux, revenez à la transformation qui a changé une borne ou un signe.
Sur votre brouillon d’entraînement, notez une justification courte pour chaque rejet, puis comparez avec le corrigé. Refaites ensuite une question différente comportant le même point délicat. Le résultat de ces exercices reste un retour pédagogique local, sans conversion en score GRE.
À retenir
- Identifier le domaine et le nombre de réponses demandé.
- Établir l’ensemble des solutions avant de cocher quand c’est possible.
- Chercher un contre-exemple aux affirmations universelles.
- Contrôler chaque choix, y compris ceux laissés vides.