Que dessiner et que laisser inconnu ?
La géométrie élémentaire relève du Calcul selon la FNEGE. Cet atelier se limite à des rectangles, triangles rectangles et pavés droits ; il ne constitue pas une liste garantie de questions. Les figures décrites sont originales et schématiques, sans échelle.
Commencez par nommer les sommets, puis inscrivez les longueurs données. Un angle droit doit être annoncé par l’énoncé ou justifié ; deux segments de même apparence ne sont pas nécessairement égaux. Placez un point d’interrogation sur ce qui est demandé. Cette discipline évite de résoudre un problème plus facile que celui posé, en ajoutant inconsciemment une symétrie.
Description de notre rectangle de travail : A est en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite et D en bas à gauche. Les côtés AB et CD sont horizontaux ; BC et AD sont verticaux. Le symbole ▭ sert de repère visuel, mais les lettres et les dimensions écrites portent les informations utilisables.
| Figure ou quantité | Relation |
|---|---|
| Rectangle de côtés L et l | Aire = L × l ; périmètre = 2(L + l) |
| Triangle de base b et hauteur correspondante h | Aire = b × h / 2 |
| Triangle rectangle, hypoténuse c | c² = a² + b² |
| Pavé droit de dimensions L, l, h | Volume = L × l × h |
Pourquoi distinguer surface et périmètre ?
Imaginez une peinture couvrant toute une plaque et une bordure suivant son contour : ces deux quantités ne se mesurent pas avec la même formule.
Une plaque rectangulaire mesure 12 cm de long et 5 cm de large. On double uniquement sa longueur. Quelle est sa nouvelle aire ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
120 cm².
La méthode, appliquée
- La nouvelle longueur vaut 24 cm et la largeur reste 5 cm. L’aire vaut 24 × 5 = 120 cm².
- L’aire initiale était 60 cm² ; doubler une seule dimension la double. Doubler les deux dimensions l’aurait multipliée par quatre.
- 34 est le périmètre initial et 58 le nouveau périmètre : leur unité serait le centimètre, pas le centimètre carré. 240 correspondrait à deux dimensions doublées.
Comment choisir les termes de Pythagore ?
Schéma à reconstruire : A est à l’angle droit ; B se trouve à droite de A et C au-dessus de A. Les segments AB et AC forment donc les deux côtés perpendiculaires. BC relie leurs extrémités et constitue l’hypoténuse, opposée à l’angle droit.
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 9 cm et AC = 12 cm. Combien mesure BC ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
15 cm.
La méthode, appliquée
- BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225. La longueur positive BC vaut donc 15 cm.
- 225 est le carré de la longueur, pas la longueur. 21 additionne les deux côtés, ce qui mesurerait un détour par A plutôt que le segment BC.
- Le résultat doit dépasser 12 cm, car l’hypoténuse est le plus long côté, tout en restant inférieur à 9 + 12 = 21 cm. Ce contrôle confirme la cohérence de 15.
Le piège
Faire confiance à la taille apparente du dessin
Un rectangle presque carré ne vous autorise pas à poser L = l. Une diagonale presque horizontale ne signifie pas un angle nul. Pour chaque relation, demandez-vous quelle phrase ou propriété la justifie. Si la seule réponse est « cela se voit », il manque une preuve.
Même vigilance pour les conversions : 1 m² correspond à 100 × 100 cm², soit 10 000 cm². Le facteur 100 concerne une longueur. Sur une aire ou un volume, il intervient dans chaque dimension.
Comment contrôler les dimensions d’un résultat ?
Le volume d’un pavé droit se calcule après avoir exprimé ses trois dimensions dans une même unité.
Un bac en forme de pavé droit a pour dimensions intérieures 50 cm, 40 cm et 30 cm. Quel est son volume en litres, sachant que 1 litre = 1 000 cm³ ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
60 litres.
La méthode, appliquée
- Le volume vaut 50 × 40 × 30 = 60 000 cm³. On divise ensuite par 1 000 : 60 litres.
- Le nombre 120 vient de l’addition des dimensions et ne représente aucun volume. 6 et 600 signalent une erreur de facteur dix.
- Vérification en décimètres : 5 × 4 × 3 = 60 dm³. Puisqu’un litre vaut un dm³, on retrouve le résultat.
À retenir
- N’utilisez que des propriétés données ou démontrées.
- Séparez contour, surface et volume avant de choisir une formule.
- Contrôlez l’unité et l’ordre de grandeur.