Quelle unité de temps choisir ?
Cet atelier Upsilar applique les mathématiques élémentaires du Calcul à des situations de déplacement et de production. Il ne prédit pas les sujets de votre session. Avant toute opération, notez ce que mesure chaque nombre : kilomètres, litres, heures ou fraction de tâche.
Avec une vitesse en kilomètres par heure, 45 minutes valent 45/60 heure, soit 0,75 heure. À 48 km/h pendant 45 minutes, la distance est donc 48 × 0,75 = 36 km. Écrire 48 × 45 mélangerait l’heure du rythme et la minute du temps. Le résultat peut sembler impressionnant tout en étant sans signification.
Pour un débit en litres par minute, gardez les minutes si toutes les données le permettent. Une conversion n’est utile que si elle rend le modèle cohérent. Écrivez aussi les hypothèses : vitesse constante, débit constant, absence de perte. Si le rythme change, découpez le problème en périodes plutôt que d’utiliser une formule unique.
Pourquoi additionner les vitesses de rapprochement ?
Schéma original : A → ← B. Les deux flèches sont dirigées l’une vers l’autre ; leur écart diminue grâce aux deux déplacements. Dans une poursuite dans le même sens, seule la différence des vitesses réduit l’écart.
Deux cyclistes partent au même instant de deux points distants de 42 km et roulent l’un vers l’autre, à 18 km/h et 24 km/h. Après combien de temps se rencontrent-ils ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
1 heure.
La méthode, appliquée
- En une heure, ils réduisent leur écart de 18 + 24 = 42 km. Le temps vaut 42/42 = 1 heure.
- Au rendez-vous, leurs distances respectives sont 18 km et 24 km ; leur somme retrouve les 42 km initiaux.
- 7 heures viendrait de 42/(24 − 18), modèle d’une poursuite dans le même sens. Diviser par la vitesse d’un seul cycliste oublierait le déplacement de l’autre.
Comment prendre en compte une sortie simultanée ?
Schéma original : arrivée → réservoir → sortie. Le débit net est ce qui entre moins ce qui sort. Cette soustraction ne vaut que sur la période où les deux écoulements agissent simultanément.
Une cuve vide de 180 litres reçoit 8 litres par minute. Une sortie évacue simultanément 2 litres par minute, à débit constant dès le départ. Combien de temps faut-il pour remplir la cuve ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
30 minutes.
La méthode, appliquée
- Chaque minute ajoute finalement 8 − 2 = 6 litres. Il faut 180/6 = 30 minutes.
- Contrôle : en 30 minutes, 240 litres entrent et 60 sortent ; il reste 180 litres.
- 22,5 minutes ignore la sortie ; 18 minutes additionne les débits comme si les deux tuyaux remplissaient la cuve. Le sens des flèches décide du signe.
Le piège
Additionner des durées au lieu de débits
Une machine qui réalise une tâche en 6 heures produit un sixième de tâche par heure. Une seconde qui la réalise en 3 heures produit un tiers par heure. Elles ne mettent pas 9 heures ensemble : ce sont leurs productions horaires qui s’additionnent, sous l’hypothèse d’un travail indépendant et partageable.
Le même réflexe protège contre les moyennes de vitesses hâtives. Pour deux trajets de même distance, les durées diffèrent lorsque les vitesses diffèrent. Calculez la distance totale et le temps total ; leur quotient donne la vitesse moyenne.
Pourquoi exprimer le travail en fractions ?
Prenez la tâche complète comme unité. Cette convention évite d’inventer un volume ou un nombre de pièces absent de l’énoncé.
Une machine réalise seule un lot en 6 heures, une autre en 3 heures. Elles travaillent ensemble à rythme constant, sans se gêner. Combien de temps faut-il pour réaliser un lot ?
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
2 heures.
La méthode, appliquée
- La production commune vaut 1/6 + 1/3 = 1/2 lot par heure. Pour produire un lot, il faut 1 ÷ (1/2) = 2 heures.
- Pendant ces deux heures, la première réalise 2/6 du lot et la seconde 2/3 ; le total vaut 1.
- 4,5 heures est la moyenne des durées individuelles. Elle dépasse même les 3 heures nécessaires à la machine rapide seule, ce qui contredit le modèle sans gêne.
À retenir
- Rendez les unités compatibles avant de calculer.
- Additionnez ou soustrayez les rythmes selon le sens réel des actions.
- Contrôlez le résultat en reconstituant la quantité totale.