Commencer par l’ensemble observé
Avant toute moyenne, demandez-vous ce que représente une ligne. Une valeur par personne, une valeur par groupe et une fréquence ne se combinent pas de la même façon. Additionner des moyennes de groupes puis diviser par le nombre de groupes n’est valable comme moyenne globale que si leurs tailles sont égales.
Les statistiques descriptives résument des données ; elles n’expliquent pas automatiquement leurs causes. Une moyenne élevée peut venir d’une valeur extrême. Une médiane décrit le centre de la série ordonnée, sans tenir compte de l’éloignement des valeurs extrêmes. Le programme ETS inclut plusieurs indicateurs et des probabilités élémentaires ; les exercices suivants en travaillent une partie, sans statistique inférentielle.
Exercice 1 : moyenne, médiane et étendue
Voici les durées fictives, en minutes, de cinq livraisons comparables. Toutes les observations ont le même poids ; aucune n’est exclue.
| Livraison | Durée, minutes |
|---|---|
| A | 12 |
| B | 14 |
| C | 14 |
| D | 16 |
| E | 34 |
For delivery times of 12, 14, 14, 16, and 34 minutes, find the mean, median, and range. If the 34-minute delivery is replaced by a 19-minute delivery, which of these measures remain unchanged?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
Moyenne 18, médiane 14, étendue 22 ; seule la médiane reste inchangée.
La méthode, appliquée
- La somme vaut 90, donc moyenne 90/5 = 18. Le troisième terme de la série ordonnée vaut 14. L’étendue est 34 − 12 = 22.
- Après remplacement, la somme vaut 75, donc moyenne 15 ; la médiane reste 14 et l’étendue devient 19 − 12 = 7.
- La médiane inchangée ne signifie pas que toutes les caractéristiques restent identiques. Ne confondez pas non plus étendue et écart-type : ce sont deux mesures différentes de dispersion.
Exercice 2 : une dépendance explicite
Pour des tirages successifs, écrivez les conditions de chaque étape. Sans remise, le contenu de l’urne change. Avec remise, il retrouve sa composition initiale.
A bag contains 3 red and 5 blue counters. Two counters are selected at random without replacement. What is the probability that both are red?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
3/28.
La méthode, appliquée
- La première probabilité est 3/8. Après un premier rouge, il reste 2 rouges sur 7 jetons, soit 2/7. Le produit vaut 6/56 = 3/28.
- 9/64 utiliserait 3/8 deux fois, comme avec remise. 6/15 additionnerait des nombres sans construire un événement. Le résultat est inférieur à 3/8, ce qui est cohérent : obtenir deux rouges est plus contraignant qu’un seul.
Exercice 3 : au moins un événement
« Au moins un » regroupe plusieurs possibilités. Son contraire, « aucun », peut être plus simple à calculer. L’indépendance doit être donnée ou justifiée ; elle ne se déduit pas seulement de deux noms différents.
A device succeeds on each of two independent attempts with probability 0.7 per attempt. What is the probability of at least one success?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
0.91.
La méthode, appliquée
- L’échec a une probabilité de 0,3. Deux échecs indépendants ont une probabilité de 0,3 × 0,3 = 0,09. Le complément vaut 1 − 0,09 = 0,91.
- 0,49 correspond à deux succès, pas à au moins un. 1,4 additionne sans retrancher le double comptage et dépasse 1, impossible pour une probabilité.
Exercice 4 : une probabilité conditionnelle
Une condition réduit l’ensemble dans lequel on choisit. Relisez le dénominateur après des formules comme given that ou selected from.
A club has 20 members. Twelve cycle to meetings, and 5 of those cyclists also run. A member is selected at random from the cyclists. What is the probability that the selected member also runs?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
5/12.
La méthode, appliquée
- Le choix se fait parmi les 12 cyclistes, dont 5 courent. Le dénominateur est donc 12.
- 5/20 serait la probabilité de choisir un membre à la fois cycliste et coureur parmi tous les membres. Ici, être cycliste est déjà imposé.
Le piège
Le piège à éviter
Appliquer une formule sans nommer la population ou l’événement. « La probabilité est 5/20 » peut être exacte pour une question et fausse pour une autre. Écrivez le choix de départ, la condition et ce que vous cherchez.
Trois contrôles de cohérence
Une moyenne d’observations positives doit rester entre leurs minimum et maximum. Une probabilité est comprise entre zéro et un. Une modification des données peut laisser un indicateur stable tout en changeant les autres. Ces contrôles ne remplacent pas une solution, mais éliminent vite certaines erreurs.
Lors de la correction, refaites ensuite le même raisonnement en mots. Pour le tirage, dites ce qu’il reste après le premier événement ; pour la médiane, identifiez la position centrale ; pour une condition, nommez le nouvel ensemble. Vous saurez alors quelle notion revoir, au lieu d’accumuler des formules isolées.
À retenir
- L’ensemble de référence détermine le dénominateur.
- La médiane et la moyenne réagissent différemment aux extrêmes.
- Justifiez l’indépendance avant de multiplier.