Quatre questions avant tout calcul
ETS range le dénombrement dans la partie Data Analysis du Quantitative Reasoning : combinaisons, permutations et diagrammes de Venn y figurent à côté des statistiques descriptives et des probabilités. Le raisonnement quantitatif compte 27 questions en deux sections, 47 minutes en tout, avec une calculatrice simple à l’écran. Ici, deux formats suffisent : la Quantitative Comparison et le Numeric Entry, où l’on saisit un entier ou une décimale dans une case, ou une fraction dans deux cases.
Un dénombrement se décide avec les mêmes questions, dans cet ordre. Le Math Review d’ETS pose la distinction de départ : dans une liste, l’ordre et les répétitions comptent ; dans un ensemble, ni l’un ni l’autre.
- Que compte-t-on : des suites de choix, des groupes, ou les éléments d’un ensemble ?
- L’ordre change-t-il le résultat ? Si échanger deux éléments donne autre chose, il compte.
- Une même chose peut-elle être choisie deux fois ?
- Des ensembles se recouvrent-ils, ou une condition exclut-elle des cas ?
Le principe multiplicatif, répétition comprise
Si un premier choix offre k possibilités et un second, indépendant, en offre m, l’ensemble offre k × m possibilités ; avec davantage de choix indépendants, on multiplie tous les nombres. Quand une répétition est interdite, les choix ne sont plus indépendants, mais la méthode reste la même : à chaque étape, on compte ce qui n’a pas encore été pris.
Towns X, Y and Z lie along one line. Six two-way roads join X to Y, and three two-way roads join Y to Z. A courier drives from X to Z and then back to X, passing through Y each way, and never uses the same road twice. How many different round trips are possible?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
180.
La méthode, appliquée
- À l’aller : 6 routes X–Y puis 3 routes Y–Z. Au retour, la route Y–Z déjà prise est exclue (2 choix sur 3), puis la route X–Y déjà prise aussi (5 choix sur 6). Total : 6 × 3 × 2 × 5 = 180.
- Contrôle : deux routes X–Y distinctes, dans l’ordre, donnent 6 × 5 = 30 ; deux routes Y–Z, 3 × 2 = 6 ; 30 × 6 = 180. La réponse 324 (6 × 3 × 3 × 6) autoriserait les routes répétées.
Ordonner ou seulement choisir
Ordonner n objets distincts donne n! = n × (n − 1) × … × 1 façons. Choisir k objets parmi n et les placer dans l’ordre en donne n!/(n − k)! : ce sont les permutations. Choisir k objets sans ordre en donne n!/(k! × (n − k)!), car chaque groupe a été compté k! fois, une par ordre possible : ce sont les combinaisons. Exemple : trois rôles distincts parmi 8 volontaires donnent 8 × 7 × 6 = 336 attributions ; un comité de 3 sans rôles n’en compte que 336/3! = 56. ETS rappelle aussi la convention 0! = 1 et l’égalité entre « n choose k » et « n choose n − k ».
Simplifiez les factorielles avant tout calcul : 10!/(3! × 7!) devient (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1). ETS déconseille d’ouvrir la calculatrice pour un calcul simple, plus rapide de tête.
Deux ensembles : soustraire l’intersection
Pour deux ensembles finis, le nombre d’éléments de la réunion est la somme des deux effectifs moins celui de l’intersection : A ∪ B = A + B − A ∩ B. La soustraction évite de compter deux fois ce qui est dans les deux ensembles, ce qu’ETS explique dans son Math Review. Deux relations s’en déduisent : le total est la réunion plus ceux qui sont hors des deux cercles, et « exactement un des deux » vaut A + B − 2 × (A ∩ B).
« Au moins un », « exactement un », « les deux » et « aucun » désignent quatre régions différentes du diagramme.
Among 60 students, 35 study German and 28 study Spanish. Nine of the 60 study neither language. How many of the students study exactly one of the two languages?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
39.
La méthode, appliquée
- Au moins une langue : 60 − 9 = 51. Donc 35 + 28 − (les deux) = 51, soit 12 élèves dans les deux langues. Exactement une langue : 51 − 12 = 39.
- Autre voie : allemand seul 35 − 12 = 23, espagnol seul 28 − 12 = 16 ; 23 + 16 = 39. Erreurs typiques : 51 (« exactement » oublié) et 63 (somme sans soustraction, supérieure à l’effectif total).
In a class of 30 students, 18 play chess and 15 play go. Quantity A: the number of students who play both games. Quantity B: 3. Compare the two quantities.
Choisissez une réponse.
La correction, pas à pas
D.
La méthode, appliquée
- L’énoncé ne dit pas si chaque élève joue à un jeu au moins. Si c’est le cas, 18 + 15 − (les deux) = 30 donne 3 élèves dans les deux jeux : A = B. Si 7 élèves ne jouent à rien, 18 + 15 − 10 = 23 joueurs et 23 + 7 = 30 : A = 10, plus grand que B.
- Deux situations permises donnent deux relations, d’où D. Le calcul 18 + 15 − 30 = 3 ne fournit qu’un minimum. Répondre C suppose que chaque élève joue à un jeu au moins ; répondre A suppose que certains n’y jouent pas : l’énoncé ne tranche ni l’un ni l’autre.
Trois ensembles : région par région
Le Math Review d’ETS énonce le principe pour deux ensembles et illustre trois ensembles par un diagramme. Pour trois, le plus sûr est de remplir les sept régions et la zone extérieure, de l’intérieur vers l’extérieur : d’abord ce qui est dans les trois, puis chaque paire moins ce centre, puis chaque ensemble seul. Un effectif de paire inclut le centre quand l’énoncé dit « les deux » sans autre précision ; relisez-le pour le savoir.
La formule équivalente est la somme des trois effectifs, moins les trois paires, plus le centre. Les régions servent de contrôle : aucune n’est négative, et leur somme ne dépasse pas l’effectif total.
A club has 75 members. Of them, 30 run, 26 swim and 22 do yoga. Also, 10 members both run and swim, 8 both run and do yoga, and 7 both swim and do yoga; each of these three counts includes the members who do all three activities. Exactly 4 members do all three activities. How many members do none of the three activities?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
18.
La méthode, appliquée
- Du centre vers l’extérieur : les trois activités, 4 ; course et natation seulement, 10 − 4 = 6 ; course et yoga seulement, 8 − 4 = 4 ; natation et yoga seulement, 7 − 4 = 3 ; course seule, 30 − 6 − 4 − 4 = 16 ; natation seule, 26 − 6 − 3 − 4 = 13 ; yoga seul, 22 − 4 − 3 − 4 = 11. Les sept régions totalisent 57, donc 75 − 57 = 18.
- Contrôle : 30 + 26 + 22 − (10 + 8 + 7) + 4 = 57. Oublier de remettre les 4 donne 53 et la réponse 22 ; ne retrancher aucune paire donne 78, plus que l’effectif de 75.
Compter ce qui est interdit
Quand une condition se formule par une négation (« pas côte à côte », « au moins un », « aucun »), le contraire est souvent plus simple à compter : total des cas, moins les cas interdits. On vérifie que les deux familles ne se recouvrent pas et que leur somme redonne le total.
Five people, including Ana and Ben, take seats in a row of six chairs, so that exactly one chair stays empty. In how many different arrangements are Ana and Ben not in adjacent chairs?
Notez votre réponse avant de consulter la correction.
La correction, pas à pas
480.
La méthode, appliquée
- Tous les arrangements : les cinq personnes choisissent tour à tour une chaise, 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720. Ana et Ben sur deux chaises voisines : 5 paires de chaises voisines, 2 ordres, soit 10 placements ; les trois autres prennent ensuite 3 des 4 chaises restantes, 4 × 3 × 2 = 24. Cas interdits : 10 × 24 = 240. Réponse : 720 − 240 = 480.
- Contrôle direct : si Ana occupe une chaise d’extrémité (2 cas), Ben a 4 chaises non voisines ; si elle occupe une chaise intérieure (4 cas), il en a 3. Soit 2 × 4 + 4 × 3 = 20 placements, puis 20 × 24 = 480. Oublier les 2 ordres d’Ana et Ben donne 720 − 120 = 600 ; oublier la chaise vide et ranger cinq personnes sur cinq chaises donne 120 − 48 = 72.
Le piège
Compter deux fois, oublier l’ordre, accepter un cas impossible
Trois erreurs reviennent. Le double compte : additionner deux effectifs sans retrancher leur intersection, ou lire « 10 font les deux » comme « 10 font seulement les deux ». L’ordre oublié : traiter des rôles distincts comme un simple groupe (56 au lieu de 336), ou l’inverse, compter des ordres quand seul le groupe importe. Et le cas impossible : une région négative, ou plus grande que son ensemble, signale presque toujours une donnée mal lue.
Dans une Quantitative Comparison, ne répondez pas D parce que le dénombrement vous échappe : il faut deux situations permises qui donnent deux relations.
Du dénombrement à la probabilité
Quand tous les résultats sont également probables, une probabilité est un nombre de cas favorables divisé par un nombre de cas possibles, et ces deux nombres se comptent avec la même règle sur l’ordre. Exemple : on choisit au hasard 2 personnes parmi 5, dont 2 sont des femmes. La probabilité que ce soient les deux femmes vaut 1/10, car il y a un groupe favorable sur 10 groupes de deux.
ETS range aussi sous Data Analysis les probabilités d’événements composés, indépendants et conditionnels : la suite se trouve dans l’article sur les statistiques et les probabilités.
À retenir
- Avant de calculer, posez les quatre questions : que compte-t-on, l’ordre compte-t-il, une répétition est-elle permise, des parties se recouvrent-elles ?
- Une combinaison est une permutation divisée par les ordres équivalents : n!/(k! × (n − k)!).
- Deux ensembles : A + B − (A et B). Trois ensembles : remplissez les régions du centre vers l’extérieur et vérifiez leur somme.
- Un cas qui se dit par une négation se compte souvent par son complément : total moins interdit.